Dieses Quiz wird bei jedem Aufruf neu aus Aufgaben des Wettbewerbs \href{https://math.naboj.org/?country=DE}{NÁBOJ Mathematik} erstellt.

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck $ABC$ mit der Basis $AB$. Es sei $D$ der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetrale) des Winkels $\measuredangle ACB$ mit der Strecke $AB$ und $E$ der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Winkels $\measuredangle BAC$ mit der Strecke $BC$. Weiter ist bekannt, dass $\overline{AE}=2 \cdot \overline{CD}$ ist. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Wie groß ist der Winkel $\measuredangle{BAC}$ ?

Gegeben seien $20$ Murmeln, jede in einer der Farben Weiß, Blau, Grün oder Rot. Dabei sollen Murmeln der gleichen Farbe nicht unterscheidbar sein. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Wie viele Murmeln können höchtens blau sein, wenn die Murmeln auf $1140$ Möglichkeiten hintereinander auf einer Geraden angeordnet werden können?

Es sei x eine reelle Zahl, für welche die Gleichung $x^3+4x=8$ gilt.$\\$ Bestimme den Wert von $x^7+64x^2$.

Eine positive sechsstellige Zahl wird $\textit{verdoppelt}$ genannt, wenn die ersten drei Ziffern mit den letzten drei Ziffern identisch sind, und zwar in derselben Reihenfolge. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Beispielsweise ist $227227$ verdoppelt, aber $135153$ nicht. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Wie viele sechsstellige verdoppelte Zahlen sind durch $2013$ teilbar?

\begin{minipage}[t]{0.3\linewdith} \includegraphics[width=1.0\textwidth]{naboj-2024-l4-38.png} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{0.65\linewdith} $\\$ $\text{}$ $\\$ Gegeben ist ein quadratischer $10 \times 10$ Billardtisch mit zwei Kugeln, wie auf dem Bild zu sehen. Jede Kugel ist dimensionslos als ein Punkt anzusehen, bewegt sich immer geradlinig und prallt an der Bande im gleichen Winkel (Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel) ab. \end{minipage} $\\$ Für alle Wege, auf denen die Kugel $A$ genau an zwei Banden prallt, bevor sie auf die Kugel $B$ trifft, ist die Summe der Quadrate der Längen dieser Wege zu berechnen.