Dieses Quiz wird bei jedem Aufruf neu aus Aufgaben des Wettbewerbs \href{https://math.naboj.org/?country=DE}{NÁBOJ Mathematik} erstellt.

Der leidenschaftliche Diamantensammler Manuel besitzt schon eine stattliche Anzahl an Diamanten, allerdings weniger als 200. Er teilt all seine Diamanten folgendermaßen auf mehrere einzelne Haufen, also mindestens zwei, auf: $\\$ -- Je zwei dieser Haufen bestehen aus einer unterschiedlichen Anzahl von Diamanten. $\\$ -- Keiner dieser Haufen besteht aus genau zwei Diamanten. $\\$ -- Für jeden dieser Haufen gilt: Egal wie Manuel ihn in kleinere Haufen unterteilt, so hat mindestens einer der neuen Haufen dieselbe Anzahl an Diamanten, wie sie ein bereits zuvor existierender Haufen hat. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Bestimme unter diesen Voraussetzungen die maximale Gesamtzahl an Diamanten, die Manuel besitzen kann! $\\$ Jeder Haufen besteht aus einer von Null verschiedenen Anzahl an Diamanten.

Bestimme die größte natürliche Zahl, bei der alle Ziffern (außer der ersten und der letzten) kleiner sind als das arithmetische Mittel der beiden benachbarten Ziffern.

Für eine zusammengesetzte positive ganze Zahl $n$ sei $\xi(n)$ die Summe der drei kleinsten positiven Teiler und $\vartheta(n)$ die Summe der beiden größten Teiler von $n$. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Bestimme alle zusammengesetzten Zahlen $n$, für die $\vartheta (n)=(\xi(n))^4$ erfüllt ist.

Würfeltermiten bohrten von drei Seiten aus jeweils vier quadratische, gerade Tunnel der Seitenlänge $1$ (wie in der Abbildung zu sehen) und haben dann den Würfel verlassen. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Wenn man den Restkörper mit einer Anti-Termitenfarbe anstreichen will, wie viel cm$^2$ müssen dann angestrichen werden, wenn der ursprüngliche Würfel Seitenlänge $5$cm hatte?

Eine Maus sitzt im linken unteren Feld eines $3×3$-Gitters. Ihr Ziel ist es, ein Stück Käse zu erreichen, das im rechten oberen Feld liegt. Dabei darf sie nur Schritte von einem Feld zum nächsten machen, wenn diese Felder durch eine Kante miteinander verbunden sind. \includegraphics[width=0.5\textwidth]{naboj-2017-l4-38.png} Wie viele Möglichkeiten gibt es, einige, vielleicht auch keines der freien Felder mit Hindernissen zu belegen, so dass die Maus immer noch ihr Ziel erreichen kann?