Dieses Quiz wird bei jedem Aufruf neu aus Aufgaben des Wettbewerbs \href{https://math.naboj.org/?country=DE}{NÁBOJ Mathematik} erstellt.

Julia hat für eine (endliche) Liste von ganzen Zahlen eine Operation namens $\textit{Julieren}$ erfunden: Von einer gegebenen Liste erstellt sie vier Kopien, erhöht deren Einträge jeweils um $0$, $2$, $3$ bzw. $5$ und verkettet die Ergebnisse, sodass sie wieder eine einzige Liste ergeben. Wenn man zum Beispiel mit der Liste $(8, 3)$ beginnt, lautet das Ergebnis nach dem Julieren $(8, 3, 10, 5, 11, 6, 13, 8)$. Wenn Julia nun mit der einelementigen Liste $(0)$ beginnt und so lange juliert, bis das Ergebnis mindestens $2018$ Einträge hat, wie lautet dann der Eintrag an der $2018$-ten Stelle? $\\$ $\text{ }$ $\\$ Hinweis: Der Eintrag ganz links wird als der erste gezählt.

Finde den einzigen dreistelligen Primfaktor von $999\,999\,995\,904$.

Der leidenschaftliche Diamantensammler Manuel besitzt schon eine stattliche Anzahl an Diamanten, allerdings weniger als 200. Er teilt all seine Diamanten folgendermaßen auf mehrere einzelne Haufen, also mindestens zwei, auf: $\\$ -- Je zwei dieser Haufen bestehen aus einer unterschiedlichen Anzahl von Diamanten. $\\$ -- Keiner dieser Haufen besteht aus genau zwei Diamanten. $\\$ -- Für jeden dieser Haufen gilt: Egal wie Manuel ihn in kleinere Haufen unterteilt, so hat mindestens einer der neuen Haufen dieselbe Anzahl an Diamanten, wie sie ein bereits zuvor existierender Haufen hat. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Bestimme unter diesen Voraussetzungen die maximale Gesamtzahl an Diamanten, die Manuel besitzen kann! $\\$ Jeder Haufen besteht aus einer von Null verschiedenen Anzahl an Diamanten.

Finde die größte positive ganze Zahl $N$, die keine Primzahl ist und bei der alle ihre Teiler mit Ausnahme von $N$ selber kleiner als $100$ sind.

Auf jede Seitenfläche eines Würfels wird eine natürliche Zahl geschrieben. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Jeder Ecke wird das Produkt der Zahlen auf den drei Flächen zugewiesen, die an dieser Ecke zusammentreffen (Eckenprodukt). Die Summe der Eckenprodukte sei $165$. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Welche Werte kann die Summe der Zahlen auf den Seitenflächen annehmen?