Dieses Quiz wird bei jedem Aufruf neu aus Aufgaben des Wettbewerbs \href{https://math.naboj.org/?country=DE}{NÁBOJ Mathematik} erstellt.

Wie viele $5$-Tupel zweistelliger Zahlen gibt es, so dass jede der Ziffern von $0$ bis $9$ genau einmal vorkommt und jede der zweistelligen Zahlen gerade, aber nicht durch drei teilbar ist? $\\$ $\text{ }$ $\\$ Hinweis: Dabei werden $5$-Tupel, die sich nur in der Anordnung der zweistelligen Zahlen unterscheiden, als gleich angesehen.

Gegeben sei eine Zahl, die mit $122333444455555 \ldots$ beginnt und bei der in aufsteigender Reihenfolge jede Zahl so oft hintereinander geschrieben wird wie ihr Wert angibt. Nach $2014$ Ziffern wird das Aufschreiben beendet. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Wie lautet die letzte Ziffer dieser Zahl?

\begin{minipage}[t]{0.3\linewdith} \includegraphics[width=1.0\textwidth]{naboj-2024-l4-38.png} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{0.65\linewdith} $\\$ $\text{}$ $\\$ Gegeben ist ein quadratischer $10 \times 10$ Billardtisch mit zwei Kugeln, wie auf dem Bild zu sehen. Jede Kugel ist dimensionslos als ein Punkt anzusehen, bewegt sich immer geradlinig und prallt an der Bande im gleichen Winkel (Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel) ab. \end{minipage} $\\$ Für alle Wege, auf denen die Kugel $A$ genau an zwei Banden prallt, bevor sie auf die Kugel $B$ trifft, ist die Summe der Quadrate der Längen dieser Wege zu berechnen.

Wie lautet die kleinste positive ganze Zahl, die nur mit den Ziffern $2$ und $9$ geschrieben werden kann, eine ungerade Anzahl von Ziffern hat und durch $11$ teilbar ist?

Ein Zweiersessellift transportiert Touristen berg- und talwärts. Es wollen $74$ Personen mit dem Lift auf den Berg fahren und bei der Bergstation warten $26$ Personen, die ins Tal fahren möchten. Exakt zu Mittag wird der Sessellift in Betrieb genommen. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Zu diesem Zeitpunkt steigen zwei Personen bei der Bergstation und zwei bei der Talstation zu. Die restlichen Personen steigen anschließend jeweils zu zweit und ohne Unterbrechung zu. Um exakt $12$$:$$16$ Uhr begegnet der erste besetzte nach oben fahrende Zweiersessel dem letzten besetzten talwärts fahrenden Zweiersessel. Um exakt $12$$:$$22$ Uhr trifft der erste besetzte talwärts fahrende Zweiersessel auf den letzten besetzten nach oben fahrenden Zweiersessel. Die Entfernung zwischen je zwei aufeinander folgenden Sesseln ist stets gleich und die Geschwindigkeit des Sessellifts ist konstant. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Wie lange dauert die Fahrt von der Talstation zur Bergstation in Minuten?