Dieses Quiz wird bei jedem Aufruf neu aus Aufgaben des Wettbewerbs \href{https://math.naboj.org/?country=DE}{NÁBOJ Mathematik} erstellt.

Dreizehn Bienen. Eine kleine Biene und zwölf große Bienen leben in einer $37$-zelligen Bienenwabe, wie in der Abbildung zu sehen ist. Jede große Biene besetzt darin drei Zellen, die paarweise benachbart sind, und die kleine Biene genau eine Zelle. \includegraphics[width=0.3\textwidth]{naboj-2016-l4-39.png} Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Bienenwabe in dreizehn nicht-überlappende Gebiete aufzuteilen, sodass alle dreizehn Bienen wie oben beschrieben untergebracht werden können?

Wir definieren die beiden Polynome $\\$ $p(x) = ax^{2021} + bx^{2020} + · · · + ax^{2k−1} + bx^{2k−2} + · · · + bx^2 + ax + b$ und $\\$ $q(x) = ax^2 + bx + a$, $\\$ wobei $a$ und $b$ positive reelle Zahlen sind. Es ist bekannt, dass $q(x)$ genau eine reelle Nullstelle hat. $\\$ Bestimme die Summe aller reellen Nullstellen von $p(x)$.

Suche die größte fünfstellige Zahl, die die Ziffer Null nicht enthält, mit folgenden Eigenschaften: $\\$ $\text{ }$ $\\$ -- Die Zahl, die aus den ersten drei Stellen gebildet wird, ist neunmal so groß wie die aus den letzten beiden Stellen gebildete Zahl. $\\$ -- Die Zahl, die aus den letzten drei Stellen gebildet wird, ist siebenmal so groß wie die aus den ersten beiden Stellen gebildete Zahl.

Zwölf Karten – neun Blankokarten und drei Spezialkarten mit den Symbolen $B$, $D$ und $K$ – wurden gemischt und verdeckt gleichmäßig an zwölf Schlauberger verteilt, die in einem Kreis saßen. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Nachdem jeder von ihnen seine Karte angeschaut hatte, wurden alle Personen aufgefordert, gleichzeitig ihre Hand zu heben, falls sie wissen, wer zu diesem Zeitpunkt welche Spezialkarte in seiner Hand hält. Dann gaben sie ihre Karte an ihren rechten Nachbarn weiter, schauten wieder ihre Karte an, ihnen wurde wieder die selbe Frage gestellt und dieser Ablauf ging so weiter. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Nach dem Blick auf die vierte Karte hob niemand die Hand. Genau ein Schlauberger gab ein Handzeichen nach fünf gesehenen Karten. Als nächstes hoben $x$ Schlauberger nach sechs gesehenen Karten die Hand und $y$ nach sieben gesehenen Karten. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Bestimme das Produkt $xy$.

Alice, Betty, Claudia, Daniel und Eli spielten ein Tischtennis-Doppeltunier. Jedes Paar spielte gegen jedes andere Paar genau ein Mal. Alice gewann $12$ Spiele und Betty $6$ Spiele. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Wie viele Spiele konnte Claudia gewinnen? Finde alle Möglichkeiten.