Dieses Quiz wird bei jedem Aufruf neu aus Aufgaben des Wettbewerbs \href{https://math.naboj.org/?country=DE}{NÁBOJ Mathematik} erstellt.

Eine Jury bestehend aus $26$ Mathematikern musste (mindestens) fünf Filme für die Prämierung auf einem Mathe-Film-Festival nominieren. Es standen $16$ Filme zur Auswahl. Die Jury ging dabei folgendermaßen vor: $\\$ Jedes Jurymitglied wählte fünf verschiedene Filme und die fünf Filme mit den meisten Stimmen wurden nominiert. Falls es auf dem fünften Platz einen Gleichstand gab, wurden alle diese Filme nominiert. Bestimme die kleinstmögliche Anzahl von Stimmen, die ein Film bekommen konnte, so dass er – unabhängig von den Ergebnissen der anderen Filme – nominiert wurde.

Positive ganze Zahlen, die als Differenz zweier Quadratzahlen dargestellt werden können, sollen subtraktiv genannt werden. Wie viele der Zahlen $1,2, \ldots 2013$ sind subtraktiv?

Gegeben seien zwei Kreise $k$ und $l$ mit Radius $16$, deren Mittelpunkte auf der jeweils anderen Kreislinie liegen. Ferner sei ein Kreis $m$ gegeben, der die beiden Kreise $k$ und $l$ sowie die Verbindungsgerade der Mittelpunkte, wie in der Abbildung dargestellt, berührt. \includegraphics[width=0.4\textwidth]{naboj-2014-l3-28.png} $\\$ $\text{ }$ $\\$ Bestimme den Radius des Kreises $m$.

Diego hat sein Passwort vergessen. Er erinnert sich nur mehr daran, dass es aus neun Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets besteht und die Wörter ‘math’ und ‘drama’ enthält. Wie viele Passwörter erfüllen diese Anforderungen? $\\$ $\text{ }$ $\\$ Hinweis: Die Wörter sind als Teilzeichenfolge enthalten, demzufolge enthält zum Beispiel ‘martha’ nicht ‘math’. Es gibt insgesamt $26$ Buchstaben im Alphabet.

Vier Freunde beschließen neue Sprachen zu lernen. In der Sprachschule wird Arabisch, Bengalisch, Chinesisch und Niederländisch angeboten. Jeder der vier Freunde möchte genau drei dieser Sprachen lernen. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Auswahl der Sprachen, wenn sie zumindest einen Kurs gemeinsam belegen wollen?