Dieses Quiz wird bei jedem Aufruf neu aus Aufgaben des Wettbewerbs \href{https://math.naboj.org/?country=DE}{NÁBOJ Mathematik} erstellt.

Drei sich nicht überschneidende regelmäßige Vielecke mit Seitenlänge 1 haben einen gemeinsamen Eckpunkt $A$. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Der Rand der Vereinigung ihrer Flächen bildet einen (nicht konvexen) Polygonzug $M$, der den Punkt $A$ im Inneren haben soll (d.h. $A$ liegt nicht auf dem Rand von $M$). $\\$ $\text{ }$ $\\$ Bestimme die Länge von $M$, wenn eines der regelmäßigen Vielecke ein Quadrat und ein weiteres ein regelmäßiges Sechseck ist.

Die neun dreieckigen Zellen in der Abbildung sollen mit verschiedenen positiven ganzen Zahlen befüllt werden, so dass je zwei Zahlen in benachbarten Zellen einen gemeinsamen Teiler größer 1 haben. Hierbei ist eine Zelle ein kleines Dreieck und zwei Zellen werden benachbart genannt, wenn die zwei Dreiecke eine gemeinsame Seite besitzen. Was ist die kleinstmögliche Summe von neun eingetragenen Zahlen? \includegraphics[width=0.4\textwidth]{naboj-2021-l3-21.png}

Wählt man zwei beliebige verschiedene Zahlen aus der Menge $\{ 1, 2, 3, \ldots , n − 1, n \}$, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie aufeinander folgend sind, genau $\frac{1}{21}$. $\\$ Bestimme $n=$.

Leo möchte die Kanten eines regelmäßigen Dodekaeders in einer speziellen Art und Weise anmalen: $\\$ Er wählt sich einen Filzstift, setzt ihn an einem Eckpunkt des Dodekaeders an und fährt damit entlang von zusammenhängenden Kanten ohne den Stift abzusetzen und ohne eine Kante zweimal anzumalen, bis er den Stift entweder freiwillig absetzt oder er dazu gezwungen wird. $\\$ $\text{ }$ $\\$ Dann nimmt er einen Filzstift mit einer anderen Farbe und beginnt erneut, noch nicht eingefärbte zusammenhängende Kanten anzumalen. Er macht auf diese beschriebene Art, jedes Mal mit einer neuen Farbe, so lange weiter, bis alle Kanten des Dodekaeders genau einmal eingefärbt sind. \includegraphics[width=0.3\textwidth]{naboj-2017-l3-25.png} Was ist die kleinste Anzahl an Farben, die Leo benutzen kann?

Fünf kleine Straßenlaternen $L_1$, $L_2$, $L_3$, $L_4$ und $L_5$ stehen im Abstand von je $12$m auf einer Seite einer geraden Straße. Auf der gegenüber liegenden Straßenseite befindet sich eine Eisdiele. Steht Julien vor dem Eingang $E$ der Eisdiele, so sieht er die Laternen $L_1$ und $L_2$ unter einem Winkel von $\alpha=27^\circ$. Steht er an der Laterne $L_5$, so sieht er $L_1$ und $E$ auch unter dem Winkel $27^\circ$. \includegraphics[width=0.3\textwidth]{naboj-2016-l3-22.png} Wie groß ist der Abstand von $L_1$ nach $E$?