Dieses Quiz wird bei jedem Aufruf neu aus Aufgaben des Wettbewerbs \href{https://math.naboj.org/?country=DE}{NÁBOJ Mathematik} erstellt.

Zwei große Adelshäuser trafen sich zu einem Fest, beide vertreten durch mindestens ein männliches und mindestens ein weibliches Mitglied. Jedes Mitglied eines Hauses begrüßte jedes Mitglied des anderen Hauses: Wenn sich zwei Männer begrüßten, schüttelten sie sich die Hände, während sich zwei Frauen oder eine Frau und ein Mann voreinander verbeugten. Insgesamt kam es während der Begrüßung zu $85$ Handschlägen und $162$ Verbeugungen. Wie viele Frauen waren auf dem Fest anwesend?

Gegeben sei ein Polynom vom Grad $14$ mit ganzzahligen Koeffizienten, positivem führenden Koeffizienten und $14$ verschiedenen ganzzahligen Nullstellen. Ausgewertet in Null hat das Polynom den positiven Wert $p$. $\\$ Bestimme den kleinstmöglichen Wert von $p$.

Malcom sagte sowohl Michal als auch Shri eine positive ganze Zahl. Außerdem sagte er ihnen, dass ihre Zahlen unterschiedlich sind und dass ihre Summe zweistellig ist. Dann fand die folgende Konversation statt: $\\$ $\text{ }$ $\\$ -- $\quad$ Michal: „Ich kann nicht feststellen, wer von uns die größere Zahl hat.“ $\\$ -- $\quad$ Shri: „Ich kann das ebenfalls nicht feststellen, aber ich sage dir, dass meine Zahl durch 17 teilbar ist.“ $\\$ -- $\quad$ Michal: „Wow! Nun kann ich die Summe unserer Zahlen bestimmen.“ $\\$ $\text{ }$ $\\$ Finde den Wert der Summe, unter der Voraussetzung, dass die Logik von Michal und Shri fehlerlos war.

Der Landschaftsarchitekt Severin ist beauftragt, einen dreieckigen Schotterweg rund um einen neuen Badesee anzulegen. Die Seitenlängen des Dreiecks $\triangle ABC$ in der Mitte des Weges betragen $a=80$m, $b=100$m und $c=120$m. Die Ränder des Weges sollen jeweils einen Abstand von 1m zu diesem Dreieck haben, so wie es in der Abbildung dargestellt ist. \includegraphics[width=0.3\textwidth]{naboj-2017-l3-26.png} Wie viele Kubikmeter feinen Schotter muss Severin bestellen, wenn der Belag des Schotters durchschnittlich $4$cm hoch sein soll?

Eine Jury bestehend aus $26$ Mathematikern musste (mindestens) fünf Filme für die Prämierung auf einem Mathe-Film-Festival nominieren. Es standen $16$ Filme zur Auswahl. Die Jury ging dabei folgendermaßen vor: $\\$ Jedes Jurymitglied wählte fünf verschiedene Filme und die fünf Filme mit den meisten Stimmen wurden nominiert. Falls es auf dem fünften Platz einen Gleichstand gab, wurden alle diese Filme nominiert. Bestimme die kleinstmögliche Anzahl von Stimmen, die ein Film bekommen konnte, so dass er – unabhängig von den Ergebnissen der anderen Filme – nominiert wurde.